TRẦN NAM DŨNG (Tổng Chủ biên)
TRẦN ĐỨC HUYÊN – NGUYỄN THÀNH ANH (đồng Chủ biên)
NGÔ HOÀNG LONG

CHUYÊN ĐỀ HỌC TẬP

TOÁN

12

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Mỗi bài học trong sách Chuyên đề học tập Toán 12 thường có các phần như sau:
Gợi mở, kết nối người học vào chủ đề bài học.
Hoạt động khởi động

Gợi ý để người học tìm ra kiến thức mới.
Hoạt động khám phá

Nội dung kiến thức cần lĩnh hội.
Kiến thức trọng tâm

Các bài tập cơ bản theo yêu cầu cần đạt.
Thực hành

Ứng dụng kiến thức để giải quyết vấn đề.
Vận dụng

Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng các em học sinh lớp sau!

2

Lời nói đầu
Các bạn học sinh, quý thầy, cô giáo thân mến!
Tiếp nối sách Chuyên đề học tập Toán 11, sách Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc bộ sách
Chân trời sáng tạo được biên soạn theo Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 của
Bộ Giáo dục và Đào tạo. Sách bao gồm ba chuyên đề:
Chuyên đề 1. Ứng dụng toán học giải các bài toán tối ưu.
Chuyên đề 2. Ứng dụng toán học trong một số vấn đề liên quan đến tài chính.
Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Các chuyên đề này nhằm mục đích:
– Cung cấp thêm một số kiến thức và kĩ năng toán học nhằm đáp ứng yêu cầu phân hoá,
tạo cơ hội cho học sinh vận dụng Toán học để giải quyết các vấn đề liên môn và thực tiễn,
góp phần hình thành cơ sở khoa học cho giáo dục STEM.
– Giúp học sinh hiểu rõ vai trò và những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn; làm cơ sở
cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phổ thông; tạo cơ hội cho học sinh nhận biết
năng khiếu, sở thích của mình, từ đó tạo đam mê khi học Toán.
Mỗi chuyên đề đều có nêu các kiến thức cơ bản sẽ học và các yêu cầu cần đạt của
chuyên đề. Các bài học đều xây dựng theo tinh thần định hướng phát triển năng lực và
thường được thống nhất theo các bước: khởi động, khám phá, thực hành, vận dụng.
Chúng tôi hi vọng rằng sách Chuyên đề học tập Toán 12 sẽ hỗ trợ quý thầy cô trong
quá trình dạy học, đồng thời giúp các bạn học sinh hứng thú hơn khi học tập bộ môn Toán.
Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các bạn học sinh để sách được ngày
càng hoàn thiện hơn.
CÁC TÁC GIẢ

3

Mục lục
Trang

Chuyên đề 1. ỨNG DỤNG TOÁN HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU

5



Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính



Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

15



Bài tập cuối chuyên đề 1

21

6

Chuyên đề 2. ỨNG DỤNG TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TÀI CHÍNH 24


Bài 1. Tiền tệ. Lãi suất

25



Bài 2. Tín dụng. Vay nợ

33



Bài 3. Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

39



Bài tập cuối chuyên đề 2

50

Chuyên đề 3. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

53



Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

54



Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

64



Bài tập cuối chuyên đề 3

71

Bảng giải thích thuật ngữ 73
Bảng tra cứu từ ngữ 75

4

Chuyên đề 1

ỨNG DỤNG TOÁN HỌC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
Trong đời sống, đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế, thường xuyên xuất hiện bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc
giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó. Trong chuyên đề này, chúng ta làm quen với việc giải những
bài toán như vậy (gọi là bài toán tối ưu) bằng cách vận dụng những kiến thức đã học về hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn và về đạo hàm.

Nhằm đạt hiệu quả kinh tế cao nhất, người ta tìm những phương án sản xuất sao cho tối thiểu
hoá chi phí và tối đa hoá lợi nhuận.

Sau chuyên đề này, bạn có thể:
– Vận dụng kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán
quy hoạch tuyến tính.
– Vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu xuất hiện trong
thực tiễn, bao gồm những bài toán tối ưu trong kinh tế.

5

Bài 1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Từ khoá: Bài toán quy hoạch tuyến tính; Hàm mục tiêu; Ràng buộc; Tập phương án.

Một thương nhân sử dụng 120 triệu đồng
tiền vốn để mua tối đa 8 tấn trái cây.
Thương nhân đó thu mua hai loại trái cây
là A với giá 12 triệu đồng/tấn và B với giá
20 triệu đồng/tấn. Lợi nhuận thương nhân
đó thu được sau khi bán mỗi tấn hàng
đối với loại A là 1,1 triệu đồng, đối với
loại B là 1,5 triệu đồng. Thương nhân đó
nên mua khối lượng bao nhiêu mỗi loại để
thu được lợi nhuận cao nhất khi bán hết
hàng đã thu mua?

1. Bài toán quy hoạch tuyến tính
y
5
3
2A

–4

F

O

4=

0

B

C
5

2

8

x

y–
=
0

d: x + 2y – F = 0

5

F
2

x–

+
2y

x+

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất
1
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F = x + 2y với (x; y) là nghiệm
của hệ bất phương trình
x  2 y  4  0
x  y  5  0

(I)

x  0
 y  0.

Hình 1

Miền nghiệm Ω của hệ (I) là miền tứ giác OABC (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị F
x F
cho trước, xét đường thẳng d: x + 2y – F = 0 hay y    .
2 2
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Với giá trị nào của F thì đường thẳng d đi qua điểm O, điểm B?
b) Khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của d với trục Oy thay đổi
như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng d có thay đổi không?
c) Với điều kiện nào của F thì đường thẳng d và miền nghiệm Ω có điểm chung?
d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x + 2y trên
miền nghiệm Ω. Biểu thức F đạt được các giá trị đó tại điểm nào?
6

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x + 2y trên miền nghiệm Ω
của hệ bất phương trình bậc nhất (I) gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính. Biểu thức F
gọi là hàm mục tiêu, hệ (I) gọi là ràng buộc, miền nghiệm Ω của hệ (I) gọi là tập phương án
của bài toán.
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến) là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by (a và b là các số thực không đồng thời bằng 0)
trên miền nghiệm Ω của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y).
Biểu thức F gọi là hàm mục tiêu, hệ bất phương trình bậc nhất gọi là ràng buộc,
miền nghiệm Ω gọi là tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính đó.
Trong 1 , ta thấy tập phương án Ω là miền đa giác (tứ giác OABC) và hàm mục tiêu
F = x + 2y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng khi tập phương án Ω của bài toán quy hoạch
tuyến tính là miền đa giác thì hàm mục tiêu luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
tại đỉnh của Ω.
Từ đó, để giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong trường hợp tập phương án là miền đa giác,
ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω.
Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F
trên Ω.
Chú ý:
a) Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, ta viết
F = ax + by → max (hoặc min)
để thể hiện tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của F. Nếu tìm cả giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của F thì ta viết
F = ax + by → max, min.
b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F trên Ω được kí hiệu lần lượt là max F và min F.
Ω

Ω

Với hai số thực x0, y0 cho trước, ta viết F(x0; y0) để chỉ giá trị của hàm mục tiêu F = ax + by
khi x = x0, y = y0.

7

Ví dụ 1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 2x – 5y → max, min
với ràng buộc
2 x + y − 4 ≥ 0
2 x − y ≥ 0


2 x + 3 y − 12 ≤ 0
 y ≥ 0.

0
2 x − y =
x = 1
⇔
⇒ A(1; 2).

0 y = 2
2 x + y − 4 =

=0
–y

Toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng
2x – y = 0 và 2x + y – 4 = 0 là nghiệm của
hệ phương trình toạ độ giao điểm:

y
4

2x

Giải
Tập phương án Ω là miền tứ giác ABCD
trên Hình 2.

3

B

2

O

2x

A

+3

y–

12
=

D
1 3 2 2x + y – 4 = 0
2
Hình 2

0

C
6

x

3 
Tương tự, ta tìm được B  ; 3 , C(6; 0), D(2; 0).
2 
Giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω:
3
3 
F  ; 3 =
2 . −5 .3 =
−12 ;
F(1; 2) = 2 . 1 – 5 . 2 = –8;
2
2 

F(6; 0) = 2 . 6 – 5 . 0 = 12;

F(2; 0) = 2 . 2 – 5 . 0 = 4.

3 
max F F=
(6; 0) 12; min F = F  ; 3  = −12.
Từ đó, =
Ω
Ω
2 

F = 2x + y → max, min
với ràng buộc

x  y  4  0

3 x  y  0

(II)
x  0
 y  1.

Tập phương án Ω của bài toán là phần được
tô màu trên Hình 3. Hai điểm A(1; 3) và B(3; 1)
gọi là các đỉnh của Ω.
Với giá trị F cho trước, xét đường thẳng
d: 2x + y = F hay d: y = −2x + F.
8

y
7

y=0

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

3x –

2

5 FA
4
3
F
1
O

Ω
A
B

1

F
2

3
d
Hình 3

y=1
4
x
x+y–4=0

Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Tìm giá trị của F để đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3). Gọi giá trị tìm được là FA.
b) Khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của d với trục Oy thay đổi
như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng d có thay đổi không?
c) Nếu F < FA thì d và Ω có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm
mục tiêu F = 2x + y trên Ω.
d) Với giá trị nào của F thì d và Ω có điểm chung? Hàm mục tiêu F = 2x + y đạt
giá trị lớn nhất trên Ω hay không?
Trong 2 , tập phương án Ω không phải là miền đa giác; hàm mục tiêu F chỉ đạt giá trị
nhỏ nhất (tại điểm A) mà không đạt giá trị lớn nhất trên Ω.
Trong trường hợp tổng quát, nếu tập phương án Ω không phải là miền đa giác thì hàm
mục tiêu F = ax + by của bài toán quy hoạch tuyến tính có thể không đạt giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất trên Ω. Tuy nhiên, người ta chứng minh được rằng nếu F đạt giá trị
lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất trên Ω thì F đạt giá trị đó tại đỉnh của Ω.
Chú ý: Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính xuất phát từ tình huống thực tế có tập
phương án Ω (không là miền đa giác) nằm trong góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng
toạ độ Oxy) và hàm mục tiêu F = ax + by có các hệ số a, b không âm. Khi đó, F luôn đạt
giá trị nhỏ nhất trên Ω tại đỉnh nào đó của Ω.
Từ đó, đối với bài toán quy hoạch tuyến tính
F = ax + by → min
với tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số a
và b không âm, ta có thể giải bằng cách thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án Ω của bài toán trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của Ω.
Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của F trên Ω.
Ví dụ 2. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 3x + 5y → min
với ràng buộc
x + 2 y ≥ 5
x − y ≤ 2


x ≥ 1
 y ≥ 0.
Viết lại ràng buộc của bài toán thành

Giải

x + 2 y − 5 ≥ 0
x − y − 2 ≤ 0


x ≥ 1
 y ≥ 0.

9

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ

3

O

1

2

3

Do Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số
của biểu thức F = 3x + 5y đều dương nên F đạt
giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của Ω.

=

0

4
5
x + 2y – 5 = 0

–1

Miền Ω có hai đỉnh là A(1; 2) và B(3; 1).

y–

2

B

1

Tương tự, tìm được điểm B(3; 1).

x–

Ω

A

2

x = 1
x = 1
⇔
⇒ A(1; 2).

0
x + 2 y − 5 =
y = 2

Ta có F(1; 2) = 3 . 1 + 5 . 2 = 13;

y

x=1

Tập phương án Ω của bài toán là miền không gạch
chéo trên Hình 4 (không là miền đa giác).

x

–2
Hình 4

F(3; 1) = 3 . 3 + 5 . 1 = 14.

min F F=
(1; 2) 13.
Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh A(1; 2) và =
Ω

1

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 4x + 3y → max, min
với ràng buộc

2

x  2 y  8  0
2 x  y  6  0


x  0
 y  1.

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 25x + 10y → min
với ràng buộc

2 x  3 y  6

x  y  4
 x  2.

y
5 A

x+
y–

b) Hàm mục tiêu F đạt giá trị lớn nhất trên Ω
tại bao nhiêu điểm? Giải thích.

1
O

D

Ω

0

2

=

a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.

5

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
F = 3x + 3y → max, min
có tập phương án Ω là miền tứ giác ABCD
(được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là A(0; 5),
B(4; 1), C(2; 1) và D(0; 2).

B

C
2

4
5
x
x + 2y – 4 = 0

Hình 5

10

y=1

2. Ứng dụng vào các bài toán thực tế
3

Xét tình huống thương nhân thu mua trái cây ở

(trang 6).

a) Nếu gọi x, y (tính theo tấn) lần lượt là khối lượng trái cây loại A và B được
thương nhân thu mua thì x và y phải thoả mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào?
b) Từ đó, phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính tìm khối lượng thu mua mỗi loại
trái cây để thu được lợi nhuận cao nhất. Giải bài toán đó.

Nhiều bài toán tối ưu trong thực tế dẫn đến giải bài toán quy hoạch tuyến tính (hai ẩn).
Để giải các bài toán như vậy, ta thường thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Đặt hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết (cần tìm). Viết điều kiện có nghĩa
cho các ẩn đó.
Bước 2: Từ dữ kiện của bài toán, viết biểu thức biểu thị đại lượng cần tìm giá trị
tối ưu và các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn trên. Từ đó, phát biểu bài toán
quy hoạch tuyến tính nhận được.
Bước 3: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính và trả lời.
Ví dụ 3. Tại một xưởng cơ khí, để sản xuất mỗi loại sản phẩm A và B cần dùng hai máy
I và II. Để sản xuất một sản phẩm loại A phải dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong
3 giờ, đối với một sản phẩm loại B phải dùng máy I trong 2 giờ và máy II trong 2 giờ.
Mỗi tuần máy I làm việc tối đa 40 giờ, máy II làm việc tối đa 60 giờ. Mỗi sản phẩm A
cho lợi nhuận 2 triệu đồng, mỗi sản phẩm B cho lợi nhuận 3 triệu đồng. Mỗi tuần xưởng
sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại A và B thì thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng
sản phẩm sản xuất ra đều bán hết.
Giải
Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0) lần lượt là số sản phẩm loại A và B được sản xuất trong một tuần.
Khi đó, lợi nhuận thu được là P = 2x + 3y (triệu đồng).
Do thời gian làm việc tối đa mỗi tuần của máy I và máy II lần lượt là 40 giờ và 60 giờ nên
ta có x + 2y ≤ 40 và 3x + 2y ≤ 60.
Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:
P = 2x + 3y → max
với ràng buộc
 x + 2 y ≤ 40
3 x + 2 y ≤ 60


x ≥ 0
 y ≥ 0.

11

Tập phương án Ω của bài toán là miền tứ giác OABC trên Hình 6 với các đỉnh O(0; 0),
A(0; 20), B(10; 15 ), C(20; 0). Giá trị của P tại các đỉnh:
P(0; 0) = 0;

y

P(0; 20) = 1 . 0 + 3 . 20 = 60;

30

P(10; 15) = 2 . 10 + 3 . 15 = 65;

A
20
15

P(20; 0) = 2 . 20 + 3 . 0 = 40.
Do đó max P = 65, đạt được khi x = 10, y = 15.
Ω

Vậy mỗi tuần xưởng sản xuất 10 sản phẩm
loại A và 15 sản phẩm loại B thì thu được
lợi nhuận cao nhất là 65 triệu đồng.

O

3x + 2y – 60 = 0
B
x+
2y
–4
Ω
0=
0
C
10
20
40

x

Hình 6

Ví dụ 4. Thức ăn vật nuôi tại một phòng thí nghiệm được trộn từ hai loại thức ăn A và B,
với yêu cầu cung cấp ít nhất 540 g protein và ít nhất 160 g lipid (chất béo) mỗi ngày.
Biết rằng hàm lượng protein và lipid trong thức ăn loại A lần lượt là 36% và 16%;
trong thức ăn loại B lần lượt là 54% và 8%. Giá của thức ăn loại A là 40 nghìn đồng/kg,
thức ăn loại B là 30 nghìn đồng/kg. Cần dùng bao nhiêu kilôgam thức ăn loại A và loại B
mỗi ngày để chi phí thức ăn cho những vật nuôi là thấp nhất?
Giải
Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0, tính theo kg) lần lượt là khối lượng thức ăn loại A và loại B mỗi ngày
cho vật nuôi tại phòng thí nghiệm. Từ yêu cầu tối thiểu 540 g (0,54 kg) protein và 160 g
(0,16 kg) lipid trong thức ăn mỗi ngày, ta có các bất phương trình

2 x + 3 y ≥ 3
0,36 x + 0,54 y ≥ 0,54
hay 

0,16 x + 0, 08 y ≥ 0,16
2 x + y ≥ 2.
Chi phí mua thức ăn loại A và loại B mỗi ngày là C = 40x + 30y (nghìn đồng).
Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:
C = 40x + 30y → min
với ràng buộc

3

=0

12

–2

gạch chéo như Hình 7, có các đỉnh là M(0; 2),
3 
3 1
N  ;  và P  ; 0 .
2 
4 2
Miền Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các
hệ số của hàm mục tiêu C dương nên C đạt giá trị
nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.

+y

Tập phương án Ω của bài toán là miền không

y

2x

2 x + 3 y ≥ 3
2 x + y ≥ 2


x ≥ 0
 y ≥ 0.

2 M
1

Ω

1
2

N

O

3 1
4

3
2

P

Hình 7

2 2
x

3

+3

y–

3=

x

0

Giá trị của C tại các đỉnh:
C(0; 2) = 40 . 0 + 30 . 2 = 60;
3
1
3 1
C  ;  = 40. + 30. = 45 ;
4
2
4 2
3
3


C  ; 0  = 40 . + 30 . 0 = 60.
2


2
1
3
Suy ra min C = 45, đạt được khi x= = 0, 75 ; y= = 0,5.
Ω
2
4
Vậy khi dùng 0,75 kg thức ăn loại A và 0,5 kg thức ăn loại B mỗi ngày thì chi phí thức ăn
cho vật nuôi là thấp nhất (45 nghìn đồng/ngày).
3

4

Một dây chuyền của nhà máy sản xuất đá
xây dựng dự định sản xuất hai loại sản phẩm
A và B. Thời gian để dây chuyền sản xuất
100 tấn sản phẩm loại A và 100 tấn sản phẩm
loại B lần lượt là 2 giờ và 3 giờ. Do nhu cầu
thị trường, xí nghiệp sản xuất sản lượng
sản phẩm loại A không ít hơn 3 lần sản
lượng sản phẩm loại B. Sản phẩm loại A cho
lợi nhuận là 5 triệu đồng/100 tấn; sản phẩm
Hình 8
loại B cho lợi nhuận 9 triệu đồng/100 tấn.
Trong thời gian không quá 6 giờ làm việc của dây chuyền, cần sản xuất bao nhiêu tấn
sản phẩm loại A, bao nhiêu tấn sản phẩm loại B để thu được lợi nhuận cao nhất?
Trong 100 g thịt bò loại I có chứa 21 g protein và 3,5 g lipid; 100 g thịt bò loại II có chứa
18 g protein và 10,5 g lipid. Biết rằng thịt bò loại I có giá 220 nghìn đồng/kg thì thịt bò
loại II có giá 210 nghìn đồng/kg. Để có lượng thực phẩm từ hai loại thịt bò trên cung cấp
ít nhất 630 g protein và 210 g lipid, cần mua khối lượng bao nhiêu cho mỗi loại thịt bò
loại I và II sao cho chi phí thấp nhất?

BÀI TẬP
1. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 8x + 5y → max, min
với ràng buộc



2 x + y ≤ 8
x ≥ 0

x ≤ 3
y ≥1

 y ≤ 5.
13

2. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
F = 10x + 20y → min
với ràng buộc



20 x + 5 y ≥ 40
15 x + 60 y ≥ 120

x − y ≤ 3
x ≥ 0

 y ≥ 0.

3. Một cơ sở đóng thuyền thủ công cần 10 giờ lao động để đóng một thuyền loại A và 15 giờ
lao động để đóng một thuyền loại B. Mỗi tuần cơ sở bố trí được tối đa 120 giờ lao động
cho việc đóng hai loại thuyền này. Qua thực tế, người ta thấy mỗi tuần cơ sở bán được
tối đa 6 thuyền loại A và tối thiểu 2 thuyền loại B. Mỗi thuyền loại A, loại B cho lợi nhuận
lần lượt là 0,5 triệu đồng và 0,7 triệu đồng. Mỗi tuần cơ sở nên đóng bao nhiêu thuyền
mỗi loại để có thể thu được lợi nhuận cao nhất?
4. Để làm một chiếc bánh bao loại X cần 100 g bột mì và 60 g thịt nạc vai. Để làm
một chiếc bánh bao loại Y cần 150 g bột mì và 30 g thịt nạc vai. Có thể làm được
nhiều nhất bao nhiêu chiếc bánh bao từ 3 kg bột mì và 1,2 kg thịt nạc vai có sẵn? Biết rằng
không thiếu các nguyên liệu khác để làm bánh.
5. Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g
hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:
Calcium (mg)

Phosphorus (mg)

Iron (mg)

X

200

600

8

Y

500

300

6

Từ hai loại thực phẩm X và Y, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa
ít nhất 2 000 mg calcium, 3 000 mg phosphorus, 48 mg iron. Cần chọn bao nhiêu gam
mỗi loại thực phẩm X và Y sao cho lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất?

14

Bài 2. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM

GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU
Từ khoá: Bài toán tối ưu.

Một người đang ở vị trí A muốn đi
đến vị trí B trên bờ hồ như hình bên.
Biết rằng người đó chèo thuyền với
tốc độ 50 m/phút và chạy bộ với
tốc độ 100 m/phút. Nếu người đó
chèo thuyền thẳng từ A đến B thì tốn
bao nhiêu thời gian? Có phương án
nào tốn ít thời gian hơn không?

A

300 m

C

400 m

B

1. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu
Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng
hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông
và thể tích chứa là 500 dm3 (Hình 1). Biết rằng
h
chiều cao của thùng trong khoảng từ 3 dm đến
10 dm.
x
x
a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm),
chiều cao của thùng là h (dm) thì tổng diện tích,
Hình 1
kí hiệu S, các mặt của thùng có thể được biểu thị
bằng biểu thức nào?
b) Có thể biểu thị tổng diện tích S theo x không? Biến x nhận giá trị trong miền nào?
c) Với giá trị nào của x thì S có giá trị nhỏ nhất?
Bằng cách sử dụng đạo hàm, ta có thể giải nhiều bài toán tối ưu (bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lượng nào đó) xuất hiện trong khoa học và cuộc sống.
Để giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm, ta thường thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Chọn một hoặc một số chữ cái x, a, b, … gọi là biến để biểu thị những
đại lượng chưa biết và viết biểu thức biểu thị đại lượng, kí hiệu P, cần tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo các biến đó.
Bước 2: Viết lại biểu thức P thành biểu thức chứa một biến, chẳng hạn là x,
bằng cách biểu thị các biến khác theo biến x nhờ các dữ kiện đề bài đã cho. Từ đó,
ta nhận được hàm số xác định bởi công thức P = f (x).

15

Bước 3: Xác định tập hợp D gồm các giá trị mà biến x có thể nhận.
Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số P = f (x) trên D và trả lời
bài toán.
Ví dụ 1. Trên một cánh đồng rộng lớn,
người ta dự định rào một đồng cỏ có dạng hình
chữ nhật với diện tích 80 000 m2 và tiếp giáp
với một bờ tường có sẵn (Hình 2). Cần chọn
các kích thước của đồng cỏ bằng bao nhiêu để
độ dài của hàng rào cần dựng nhỏ nhất?

y
y
x
Hình 2

Giải
Gọi x, y (x, y > 0) là hai kích thước (tính theo m) của đồng cỏ.
Do đồng cỏ có diện tích 80 000 m2 nên xy = 80 000, suy ra y =

80 000
.
x

Tổng chiều dài (tính theo m) của hàng rào là
80 000
160 000
=x+
.
x
x
160 000
Xét hàm số f(x) = x +
trên (0; +∞).
x
160 000
;
Ta có: f '(x) = 1 −
x2
160 000
f '(x) = 0 ⇔ 1 −
= 0 ⇔ x2 = 160 000 ⇔ x = 400 (do x > 0).
x2
Bảng biến thiên:
f(x) = x + 2y = x + 2 .

x
f '(x)

0
–

400
0

+∞

+∞
+
+∞

f(x)
800
Từ bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 800, đạt được khi x = 400.
80 000
Khi đó, y =
= 200.
400
Vậy để độ dài hàng rào cần dựng là nhỏ nhất, đồng cỏ cần có chiều dài 400 m và
chiều rộng (cạnh vuông góc với bờ tường) 200 m.

16

Ví dụ 2. Xét tình huống ở
(trang 15).
Giả sử người đó chèo thuyền thẳng
đến điểm D nằm giữa B và C và cách
C một đoạn x (m), rồi chạy bộ thẳng
đến B. Tìm giá trị của x để người đó
tốn ít thời gian nhất.

A

300 m
D

x
C

B

400 m
Hình 3

Giải
x 2  3002  x 2  90 000 (m); DB = 400 – x (m) với 0 ≤ x ≤ 400.

Ta có: AD =

Thời gian người đó tiêu tốn là
t =

x 2 + 90 000 400 − x
1
(2 x 2  90 000  400  x) (phút).
+
=
100
100
50

2
Xét hàm số y = 2 x + 90 000 + 400 – x với 0 ≤ x ≤ 400, ta có:

y' =

2x
2

x + 90 000

y' = 0 ⇔


− 1;

2x
2

x + 90 000

− 1 = 0 ⇔ 2x =

x 2 + 90 000 ⇔ 4x2 = x2 + 90 000

⇔ x2 = 30 000 ⇔ x = 100 3 ∈ [0; 400].

Ta có y(0) = 1 000; y(100 3 ) = 300 3 + 400 ≈ 920; y(400) = 1 000.
Vậy min y = y(100 3 ) ≈ 920.
[0;400]

Suy ra giá trị nhỏ nhất của t là

920
= 9,2 (phút), đạt được khi x = 100 3 ≈ 173 (m).
100

Vậy người đó tốn ít thời gian nhất khi x = 100 3 ≈ 173 (m).
1

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau
4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí C trên
đường trung trực của đoạn thẳng AB, cách trung điểm
M của đoạn thẳng AB một khoảng là 3 km. Người ta
muốn làm đường ống dẫn nước thải từ hai nhà máy
A, B đến nhà máy xử lí nước thải C gồm các đoạn
thẳng AI, BI và IC, với I là vị trí nằm giữa M và C
(Hình 4). Cần chọn vị trí điểm I như thế nào để tổng
độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

C

3 km

A

I
M
4 km

B

Hình 4

17

2

Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình
thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên
và bằng a (cm) không đổi (Hình 5). Gọi α là một góc
của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên
π
( ≤ α < π). Tìm α để diện tích mặt cắt ngang của
2
máng lớn nhất.

a

a
α
a
Hình 5

2. Giải bài toán tối ưu trong kinh tế

Trong sản xuất, kinh doanh, người ta thường cố gắng tìm các phương án sao cho chi phí
bỏ ra thấp nhất, lợi nhuận thu được lớn nhất, …. Từ đây xuất hiện nhiều bài toán tối ưu
trong kinh tế mà ta có thể giải nhờ ứng dụng đạo hàm. Dưới đây, ta xét một số bài toán
đơn giản.

Ví dụ 3. Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày
xí nghiệp sản xuất x (m3) sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi phí bao gồm:
4 triệu đồng chi phí cố định; 0,2 triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và
0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất
được tối đa 100 m3 sản phẩm.
a) Tính tổng chi phí (kí kiệu là C, đơn vị: triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất x (m3)
sản phẩm trong một ngày.
b) Tính chi phí trung bình (kí hiệu là C ) trên mỗi mét khối sản phẩm.
c) Tìm giá trị của x sao cho chi phí trung bình C thấp nhất. Tìm giá trị thấp nhất đó.
Giải
a) Tổng chi phí (triệu đồng) để xí nghiệp sản xuất x (m3) sản phẩm trong một ngày là
C = C(x) = 4 + 0,2x + 0,001x2 với 0 ≤ x ≤ 100.
b) Chi phí trung bình (triệu đồng) trên mỗi mét khối sản phẩm là
C ( x)
4 + 0, 2 x + 0, 001x 2
4
C = C ( x) =
=
= 0,001x + + 0,2 với 0 < x ≤ 100.
x
x
x
4
c) Ta có: C '( x) = 0,001 − 2 ;
x
4
C '( x) = 0 ⇔ 0,001 − 2 = 0 ⇔ x2 = 4 000 ⇔ x = 20 10 ∈ (0; 100].
x
10 1
10)
+ ≈ 0,326.
Ta có C (20 =
25 5
Bảng biến thiên:
x

0 20 10 100

C'

− 0 +
+∞ 0,34

C

10 1
+
25 5

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là C (20 10) ≈ 0,326
(triệu đồng/m3 sản phẩm), đạt được khi x = 20 10 ≈ 63 (m3).
18

Ví dụ 4. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B.
Hai nhà máy thoả thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo
đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm
thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là P(x) = 45 – 0,001x2 (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất
x tấn sản phẩm trong một tháng là C(x) = 100 + 30x (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng
chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).
a) Nếu mỗi tháng A bán x tấn sản phẩm cho B thì A thu được lợi nhuận bao nhiêu?
b) A bán cho B bao nhiêu sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất?
Tìm giá trị lợi nhuận lớn nhất đó.
Giải
a) Số tiền mà A thu được (gọi là doanh thu) từ việc bán x tấn sản phẩm (0 ≤ x ≤ 100)
cho B là
R(x) = x . P(x) = x(45 − 0,001x2) = 45x − 0,001x3 (triệu đồng).
Lợi nhuận (triệu đồng) mà A thu được là
P(x) = R(x) − C(x) = x(45 − 0,001x2) − (100 + 30x) = − 0,001x3 + 15x − 100.
b) Xét hàm số P(x) = − 0,001x3 + 15x – 100 với 0 ≤ x ≤ 100, ta có:
P'(x) = − 0,003x2 +15;
P'(x) = 0 ⇔ − 0,003x2 + 15 = 0 ⇔ x2 = 5 000 ⇔ x = 50 2 ∈ [0; 100].
Ta có P(0) = −100; P(50 2) = 500 2 – 100 ≈ 607; P(100) = 400.
Bảng biến thiên:
x

0

P'

−

50 2
0

–100

100
+
400

P
500 2 − 100

Từ bảng biến thiên, ta có min P
= P(50 2)
= 500 2 − 100 ≈ 607.
[0;100]

Vậy A thu được lợi nhuận lớn nhất khi bán 50 2 ≈ 70, 7 tấn sản phẩm cho B mỗi tháng
và lợi nhuận lớn nhất thu được khoảng 607 triệu đồng.
3

Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất x sản phẩm mỗi tháng là
C(x) = 5 000 + 50x + 0,005x2 (nghìn đồng).
a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.
b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất
một sản phẩm thấp nhất?
19

4

Cơ sở A chuyên cung cấp một loại sản phẩm nông nghiệp X cho nhà phân phối B.
Hai bên thoả thuận rằng, nếu đầu tháng B đặt hàng x tạ sản phẩm X thì giá bán
mỗi tạ sản phẩm là P(x) = 5 − 0,0005x2 (triệu đồng) (x ≤ 40). Chi phí A phải bỏ ra
cho x tạ sản phẩm X trong một tháng là C(x) = 10 + 3,5x (triệu đồng).
a) Nếu trong một tháng A bán x tạ sản phẩm X cho B thì A nhận được bao nhiêu
doanh thu, bao nhiêu lợi nhuận?
b) Trong một tháng B đặt hàng bao nhiêu tạ sản phẩm X từ A thì A nhận được
lợi nhuận lớn nhất?
Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A.
Với mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận.
Qua khảo sát, người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm
được 10 sản phẩm A. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để
thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

BÀI TẬP
1. Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có
mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với
một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang
có diện tích 2 m2. Các kích thước x, y (đơn vị: m)
bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất?
Tính chu vi nhỏ nhất đó.

y
x
Hình 6

2. Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp
chữ nhật, thể tích 1 800 m3 và chiều sâu 2 m (Hình 7).
Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể
gấp hai lần so với thành bể. Cần chọn chiều dài và
chiều rộng của bể bằng bao nhiêu để tiết kiệm chi phí
xây dựng bể nhất?

2
y
x
Hình 7
a

3. Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt
hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích
bằng 54 m2 và phần đường đi xung quanh với kích
thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có
chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích
phần đường đi là bé nhất?

20

1
b

a
1
2

Hình 8

1

4. Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách
bờ biển 3 km, B là vị trí trên bờ biển gần giếng
dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí C trên
bờ biển, cách vị trí B một khoảng 4 km (Hình 9).
Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm
hai đoạn thẳng AD và DC (D là một vị trí nằm giữa
B và C). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới
biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét
đường ống đặt trên bờ. Vị trí của D như thế nào để
giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

A

3 km

D

B

C

4 km

Hình 9

5. Tại một xí nghiệp, nếu trong một tuần xí nghiệp sản xuất x nghìn sản phẩm thì chi phí
sản xuất gồm: 10 triệu đồng chi phí cố định, 3 triệu đồng cho mỗi nghìn sản phẩm và
0,001x2 triệu đồng chi phí bảo dưỡng thiết bị.
a) Tính chi phí trung bình trên mỗi nghìn sản phẩm theo x.
b) Mỗi tuần xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

B À I TẬ P C U Ố I C H U Y Ê N Đ Ề 1
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

y

Chọn phương án đúng.

4

1. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 5x – 2y trên
miền Ω ở Hình 1 là

3

A. 3.

B. 22.

C. 18.

D. 20.

Ω

2
1
O

1

2

3

4

x

Hình 1
y
5

2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 5x + 2y trên
miền Ω ở Hình 2 là
A. 11.

B. 17.

C. 7.

D. 20.

4

Ω

3
2
1
O

1
Hình 2

2

3

4

x

21

3. Một nhà phân phối có thể thuê tối đa 3 chiếc xe tải loại A và 8 chiếc xe tải loại B để
vận chuyển 100 chiếc máy giặt từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ. Mỗi xe loại A chở
được tối đa 20 máy giặt với giá cước 3 triệu đồng mỗi chuyến, mỗi xe loại B chở được
tối đa 10 máy giặt với giá cước 2 triệu đồng mỗi chuyến. Nếu mỗi xe chỉ chở nhiều nhất
một chuyến, số tiền cước tối thiểu (triệu đồng) mà nhà phân phối phải trả là
A. 19.

B. 17.

C. 15.

D. 25.

4. Một người muốn làm một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 4 m3, chiều cao
1 m. Biết rằng chi phí làm đáy bể là 3 triệu đồng/m2, chi phí làm thành bể là 2 triệu đồng/m2.
Chi phí tối thiểu để làm bể là
A. 20.

B. 24.

C. 28.

D. 32.

1 2
x (nghìn đồng). Chi phí trung bình
4
trên mỗi sản phẩm là thấp nhất khi số ...